【解答】
\(x\)軸方向に\(1\)，\(x\)軸方向に\(-1\)，\(y\)軸方向に\(1\)，\(y\)軸方向に\(-1\)進むことをそれぞれ
\[→，←，↑，↓\]
と表すことにすると，5回の移動後にPがAに到達するのは，次の2パターンある．
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
・ →が3回，↑が1回，←が1回 \cdots\displaystyle\frac{5!}{3!}=20(通り)，\\
・ →が2回，↑が2回，↓が1回 \cdots\displaystyle\frac{5!}{2!2!}=30 (通り)．
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
Pが3回の移動後にも5回の移動後にもAに到達するのは，初めの3回については，
\[→が2回，↑が1回 \cdots\frac{3!}{2!}=3 (通り).\cdots①\]
残り2回については，次の2パターンある．
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
・ →，←が1回ずつ \cdots2!=2 (通り)，\\
・ ↑，↓が1回ずつ \cdots2!=2 (通り)．
\end{array}\cdots②
\right.
\end{eqnarray}
よって， Pが3回の移動後にも5回の移動後にもAに到達する進み方は，
\[3×(2+2)=12(通り)．\]
以上より，5 回の移動後に初めて P が A に到達する進み方は，
\[20+30-12=\boxed{038}(通り)．\cdots(ア～ウの答)\]
7回の移動後にPがAに到達するのは，次の3パターンある．
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
・ →が4回，↑が1回，←が2回 \qquad\qquad\cdots\displaystyle\frac{7!}{4!2!}=105 (通り)，\\
・ →が2回，↑が3回，↓が2回 \qquad\qquad\cdots\displaystyle\frac{7!}{2!3!2!}=210 (通り)，\\
・ →が3回，↑が2回，↓が1回，←が1回 \cdots\displaystyle\frac{7!}{3!2!}=420 (通り)．
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
Pが3回の移動後にも7回の移動後にもAに到達するのは，初めの3回については，①より3 通りあり，残り4回については，次の3パターンある．
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
・ →，←が2回ずつ \qquad\quad\cdots\displaystyle\frac{4!}{2!2!}=6 (通り)，\\
・ ↑，↓が2回ずつ \qquad\qquad\cdots\displaystyle\frac{4!}{2!2!}=6 (通り)，\\
・ →，←，↑，↓が1回ずつ \cdots4!=24 (通り)．
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
よって，Pが3回の移動後にも7回の移動後にもAに到達するのは，
\[3×(6+6+24)=108 (通り)．\]
Pが5回の移動後に初めてAに到達し，さらに7回の移動後にもAに到達するのは，初めの5回については，「ア～ウの答」の38通り，残りの2回は②より4通りあるので，Pが5回の移動後に初めてAに到達し，さらに7回の移動後にもAに到達するのは，
\[38×(2+2)=152 (通り)．\]
以上より，7 回の移動後に初めて P がAに到達する進み方は，
\[105+210+420-(108+152)=\boxed{0475}(通り)．\cdots(エ～キの答)\]
