【解答】
\(x\)軸方向に\(1\),\(x\)軸方向に\(-1\),\(y\)軸方向に\(1\),\(y\)軸方向に\(-1\)進むことをそれぞれ
\[→,←,↑,↓\]
と表すことにすると,5回の移動後にPがAに到達するのは,次の2パターンある.
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
・ →が3回,↑が1回,←が1回 \cdots\displaystyle\frac{5!}{3!}=20(通り),\\
・ →が2回,↑が2回,↓が1回 \cdots\displaystyle\frac{5!}{2!2!}=30 (通り).
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
Pが3回の移動後にも5回の移動後にもAに到達するのは,初めの3回については,
\[→が2回,↑が1回 \cdots\frac{3!}{2!}=3 (通り).\cdots①\]
残り2回については,次の2パターンある.
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
・ →,←が1回ずつ \cdots2!=2 (通り),\\
・ ↑,↓が1回ずつ \cdots2!=2 (通り).
\end{array}\cdots②
\right.
\end{eqnarray}
よって, Pが3回の移動後にも5回の移動後にもAに到達する進み方は,
\[3×(2+2)=12(通り).\]
以上より,5 回の移動後に初めて P が A に到達する進み方は,
\[20+30-12=\boxed{038}(通り).\cdots(ア~ウの答)\]
7回の移動後にPがAに到達するのは,次の3パターンある.
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
・ →が4回,↑が1回,←が2回 \qquad\qquad\cdots\displaystyle\frac{7!}{4!2!}=105 (通り),\\
・ →が2回,↑が3回,↓が2回 \qquad\qquad\cdots\displaystyle\frac{7!}{2!3!2!}=210 (通り),\\
・ →が3回,↑が2回,↓が1回,←が1回 \cdots\displaystyle\frac{7!}{3!2!}=420 (通り).
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
Pが3回の移動後にも7回の移動後にもAに到達するのは,初めの3回については,①より3 通りあり,残り4回については,次の3パターンある.
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
・ →,←が2回ずつ \qquad\quad\cdots\displaystyle\frac{4!}{2!2!}=6 (通り),\\
・ ↑,↓が2回ずつ \qquad\qquad\cdots\displaystyle\frac{4!}{2!2!}=6 (通り),\\
・ →,←,↑,↓が1回ずつ \cdots4!=24 (通り).
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
よって,Pが3回の移動後にも7回の移動後にもAに到達するのは,
\[3×(6+6+24)=108 (通り).\]
Pが5回の移動後に初めてAに到達し,さらに7回の移動後にもAに到達するのは,初めの5回については,「ア~ウの答」の38通り,残りの2回は②より4通りあるので,Pが5回の移動後に初めてAに到達し,さらに7回の移動後にもAに到達するのは,
\[38×(2+2)=152 (通り).\]
以上より,7 回の移動後に初めて P がAに到達する進み方は,
\[105+210+420-(108+152)=\boxed{0475}(通り).\cdots(エ~キの答)\]