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マナチャレ

マナビスinfo 2018夏号 数学
解答解説

河合塾数学科講師
刈谷 今比古(かりや いまひこ)

基礎からトップレベルまで、幅広い講座を担当し、非常にわかりやすく、数学の力が付くと大変人気の講師。東工大オープンの執筆、教材作成にも携わっている。マナビスでは、総合講座「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ ・B(レベル3)」を担当。

【方針】

「5回の移動後に初めてPがAに到達する」にある「初めて」の扱いがポイントです。5回の移動後にPがAに到達する場合から,3回の移動後にもPがAに到達しているものを除きましょう.
「7回」になっても基本的な考え方は同じですが,少し複雑です.7回の移動後にPがAに到達する場合から,

(Ⅰ)3回後にも7回後にもAに到達する場合
(Ⅱ)5回の移動後にAに到達し,7回後にもAに到達する場合
を除きましょう.(Ⅰ),(Ⅱ)に重複がないことがポイントです.

【解答】

\(x\)軸方向に\(1\),\(x\)軸方向に\(-1\),\(y\)軸方向に\(1\),\(y\)軸方向に\(-1\)進むことをそれぞれ \[→,←,↑,↓\] と表すことにすると,5回の移動後にPがAに到達するのは,次の2パターンある.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ・ →が3回,↑が1回,←が1回  \cdots\displaystyle\frac{5!}{3!}=20(通り),\\ ・ →が2回,↑が2回,↓が1回  \cdots\displaystyle\frac{5!}{2!2!}=30 (通り). \end{array} \right. \end{eqnarray} Pが3回の移動後にも5回の移動後にもAに到達するのは,初めの3回については,
\[→が2回,↑が1回 \cdots\frac{3!}{2!}=3 (通り).\cdots①\] 残り2回については,次の2パターンある. \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ・ →,←が1回ずつ  \cdots2!=2 (通り),\\ ・ ↑,↓が1回ずつ  \cdots2!=2 (通り). \end{array}\cdots② \right. \end{eqnarray} よって, Pが3回の移動後にも5回の移動後にもAに到達する進み方は,
\[3×(2+2)=12(通り).\] 以上より,5 回の移動後に初めて P が A に到達する進み方は,
\[20+30-12=\boxed{038}(通り).\cdots(ア~ウの答)\] 7回の移動後にPがAに到達するのは,次の3パターンある.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ・ →が4回,↑が1回,←が2回 \qquad\qquad\cdots\displaystyle\frac{7!}{4!2!}=105 (通り),\\ ・ →が2回,↑が3回,↓が2回 \qquad\qquad\cdots\displaystyle\frac{7!}{2!3!2!}=210 (通り),\\ ・ →が3回,↑が2回,↓が1回,←が1回 \cdots\displaystyle\frac{7!}{3!2!}=420 (通り). \end{array} \right. \end{eqnarray} Pが3回の移動後にも7回の移動後にもAに到達するのは,初めの3回については,①より3 通りあり,残り4回については,次の3パターンある.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ・ →,←が2回ずつ \qquad\quad\cdots\displaystyle\frac{4!}{2!2!}=6 (通り),\\ ・ ↑,↓が2回ずつ \qquad\qquad\cdots\displaystyle\frac{4!}{2!2!}=6 (通り),\\ ・ →,←,↑,↓が1回ずつ \cdots4!=24 (通り). \end{array} \right. \end{eqnarray} よって,Pが3回の移動後にも7回の移動後にもAに到達するのは,
\[3×(6+6+24)=108 (通り).\] Pが5回の移動後に初めてAに到達し,さらに7回の移動後にもAに到達するのは,初めの5回については,「ア~ウの答」の38通り,残りの2回は②より4通りあるので,Pが5回の移動後に初めてAに到達し,さらに7回の移動後にもAに到達するのは,
\[38×(2+2)=152 (通り).\] 以上より,7 回の移動後に初めて P がAに到達する進み方は,
\[105+210+420-(108+152)=\boxed{0475}(通り).\cdots(エ~キの答)\]


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