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マナチャレ

マナビスinfo 2019夏号 数学
解答解説

河合塾数学科講師
刈谷 今比古(かりや いまひこ)

基礎からトップレベルまで、幅広い講座を担当し、非常にわかりやすく、数学の力が付くと大変人気の講師。東工大オープンの執筆、教材作成にも携わっている。マナビスでは、総合講座「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ・B(レベル3)」「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ・B(レベル5)理系」を担当。

【解答】

与えられた式を\(P\)とおくと, \[P = (y+2)z + x^2 − 2xy − 3x + 4y + 3\] であり,\(y+2 \gt 0\) より,\(P\)が最小になるのは\(z = 0\) のときである.
このとき,\(x \geqq 0\) ,\(y \geqq 0\) ,\(x+y \leqq 4\) であり, \begin{eqnarray} P &=& x^2 − 2xy − 3x + 4y + 3\\ &=& (4-2x)y + x^2 − 3x + 3. \end{eqnarray}

ここで,\(x = t(0 \leqq t \leqq 4)\) で固定すると,

\[0 \leqq y \leqq 4-t\] であり, \[P = (4-2t)y + t^2 - 3t + 3.\]

(Ⅰ) \(4-2t \geqq 0\) つまり \(0 \leqq t \leqq 2\) のとき

\(y = 0\) のとき\(P\)は最小であり,このとき, \begin{eqnarray} P &=& t^2 − 3t + 3\\ &=& \left(t-\frac{ 3 }{ 2 }\right)^2 + \frac{ 3 }{ 4 } \end{eqnarray} であるから,\(t = \displaystyle \frac{ 3 }{ 2 }\)のときに最小値\(\displaystyle \frac{ 3 }{ 4 }\)をとる.

(Ⅱ) \(4-2t \leqq 0\) つまり \(2 \leqq t \leqq 4\) のとき

\(y = 4 - t\) のとき\(P\)は最小であり,このとき, \begin{eqnarray} P &=& (4-2t)(4-t) + t^2 − 3t + 3\\ &=& 3t^2 -15t + 19\\ &=& 3\left(t-\frac{ 5 }{ 2 }\right)^2 + \frac{ 1 }{ 4 } \end{eqnarray} であるから,\(t = \displaystyle \frac{ 5 }{ 2 }\)のときに最小値\(\displaystyle \frac{ 1 }{ 4 }\)をとる.
以上 (Ⅰ) ,(Ⅱ) より,最小値は, \[\frac{ 1 }{ 4 }.\]


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