【解答】
Bを通る水平面 𝛽 にAから下ろした垂線の足をHとすると，\(\rm BH∶\rm AH∶\rm AB=\sqrt{ 3 }∶1∶2\) より，
\[\rm AH = \frac{ 3 }{ 2 }．\]
また，Cから直線AHに下ろした垂線の足をIとすると，\(\rm CI∶\rm AI∶\rm AC=\sqrt{ 15 }∶1∶4\) より，
\[\rm AI = \frac{ 5 }{ 4 }．\]
よって，Cから 𝛽 に下ろした垂線の足をJとすると，
\[\rm CJ = \rm AH − \rm AI = \frac{ 1 }{ 4 }．\]
ここで，△ABCで余弦定理より，
\[\rm BC = \sqrt{ 3^2 + 5^2 - 2 × 3 × 5 \cos 120° } = 7\]
\(\rm BC\\
= \sqrt{ 3^2 + 5^2 - 2 × 3 × 5 \cos 120° }\\
= 7\)
であるから，直線BCの勾配は，
\[\frac{ \rm CJ }{ \rm BJ } = \frac{ \rm CJ }{ \sqrt{ \rm BC^2 - \rm CJ^2 } } = \frac{ 1 }{ 3\sqrt{ 87 } }．\]
直線ACと 𝛽 の交点をDとするとき，△AIC∽△AHDより，AD=6．
よって，△ABDで余弦定理から，
\[\rm BD = \sqrt{ 3^2 + 6^2 - 2 × 3 × 6 \cos 120° } = 3\sqrt{ 7 }．\]
\(\rm BD\\
= \sqrt{ 3^2 + 6^2 - 2 × 3 × 6 \cos 120° }\\
= 3\sqrt{ 7 }．\)
ここで，Aから直線BDに下ろした垂線の足をKとするとき，AKの勾配を求めればよい．
△ABD の面積に着目すると，
\[\frac{ 1 }{ 2 }\rm AB × \rm AD \sin 120° = \frac{ 1 }{ 2 }BD × AK．\]
\[\frac{ 1 }{ 2 } × 3 × 6 \sin 120° = \frac{ 1 }{ 2 } × 3\sqrt{ 7 }\rm AK．\]
\[\rm AK = \frac{ 3\sqrt{ 3 } }{ \sqrt{ 7 } }．\]
これより，AKの勾配は，
\[\frac{ \rm AH }{ \rm HK } = \frac{ \rm AH }{ \sqrt{ \rm AK^2 - \rm AH^2 } } = \frac{ \sqrt{ 35 } }{ 5 }．\]
