【解答】
Bを通る水平面 𝛽 にAから下ろした垂線の足をHとすると,\(\rm BH∶\rm AH∶\rm AB=\sqrt{ 3 }∶1∶2\) より,
\[\rm AH = \frac{ 3 }{ 2 }.\]
また,Cから直線AHに下ろした垂線の足をIとすると,\(\rm CI∶\rm AI∶\rm AC=\sqrt{ 15 }∶1∶4\) より,
\[\rm AI = \frac{ 5 }{ 4 }.\]
よって,Cから 𝛽 に下ろした垂線の足をJとすると,
\[\rm CJ = \rm AH − \rm AI = \frac{ 1 }{ 4 }.\]
ここで,△ABCで余弦定理より,
\[\rm BC = \sqrt{ 3^2 + 5^2 - 2 × 3 × 5 \cos 120° } = 7\]
\(\rm BC\\
= \sqrt{ 3^2 + 5^2 - 2 × 3 × 5 \cos 120° }\\
= 7\)
であるから,直線BCの勾配は,
\[\frac{ \rm CJ }{ \rm BJ } = \frac{ \rm CJ }{ \sqrt{ \rm BC^2 - \rm CJ^2 } } = \frac{ 1 }{ 3\sqrt{ 87 } }.\]
直線ACと 𝛽 の交点をDとするとき,△AIC∽△AHDより,AD=6.
よって,△ABDで余弦定理から,
\[\rm BD = \sqrt{ 3^2 + 6^2 - 2 × 3 × 6 \cos 120° } = 3\sqrt{ 7 }.\]
\(\rm BD\\
= \sqrt{ 3^2 + 6^2 - 2 × 3 × 6 \cos 120° }\\
= 3\sqrt{ 7 }.\)
ここで,Aから直線BDに下ろした垂線の足をKとするとき,AKの勾配を求めればよい.
△ABD の面積に着目すると,
\[\frac{ 1 }{ 2 }\rm AB × \rm AD \sin 120° = \frac{ 1 }{ 2 }BD × AK.\]
\[\frac{ 1 }{ 2 } × 3 × 6 \sin 120° = \frac{ 1 }{ 2 } × 3\sqrt{ 7 }\rm AK.\]
\[\rm AK = \frac{ 3\sqrt{ 3 } }{ \sqrt{ 7 } }.\]
これより,AKの勾配は,
\[\frac{ \rm AH }{ \rm HK } = \frac{ \rm AH }{ \sqrt{ \rm AK^2 - \rm AH^2 } } = \frac{ \sqrt{ 35 } }{ 5 }.\]