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マナチャレ

マナビスinfo 2019冬号 数学
解答解説

河合塾数学科講師
刈谷 今比古(かりや いまひこ)

基礎からトップレベルまで、幅広い講座を担当し、非常にわかりやすく、数学の力が付くと大変人気の講師。東工大オープンの執筆、教材作成にも携わっている。マナビスでは、総合講座「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ・B(レベル3)」「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ・B(レベル5)理系」を担当。

【解答】

 Bを通る水平面 𝛽 にAから下ろした垂線の足をHとすると,\(\rm BH∶\rm AH∶\rm AB=\sqrt{ 3 }∶1∶2\) より,
\[\rm AH = \frac{ 3 }{ 2 }.\]
 また,Cから直線AHに下ろした垂線の足をIとすると,\(\rm CI∶\rm AI∶\rm AC=\sqrt{ 15 }∶1∶4\) より,
\[\rm AI = \frac{ 5 }{ 4 }.\]
 よって,Cから 𝛽 に下ろした垂線の足をJとすると,
\[\rm CJ = \rm AH − \rm AI = \frac{ 1 }{ 4 }.\]
 ここで,△ABCで余弦定理より,
\[\rm BC = \sqrt{ 3^2 + 5^2 - 2 × 3 × 5 \cos 120° } = 7\] \(\rm BC\\ = \sqrt{ 3^2 + 5^2 - 2 × 3 × 5 \cos 120° }\\ = 7\) であるから,直線BCの勾配は,
\[\frac{ \rm CJ }{ \rm BJ } = \frac{ \rm CJ }{ \sqrt{ \rm BC^2 - \rm CJ^2 } } = \frac{ 1 }{ 3\sqrt{ 87 } }.\]
 直線ACと 𝛽 の交点をDとするとき,△AIC∽△AHDより,AD=6.
よって,△ABDで余弦定理から,
\[\rm BD = \sqrt{ 3^2 + 6^2 - 2 × 3 × 6 \cos 120° } = 3\sqrt{ 7 }.\] \(\rm BD\\ = \sqrt{ 3^2 + 6^2 - 2 × 3 × 6 \cos 120° }\\ = 3\sqrt{ 7 }.\)
 ここで,Aから直線BDに下ろした垂線の足をKとするとき,AKの勾配を求めればよい.
 △ABD の面積に着目すると,
\[\frac{ 1 }{ 2 }\rm AB × \rm AD \sin 120° = \frac{ 1 }{ 2 }BD × AK.\] \[\frac{ 1 }{ 2 } × 3 × 6 \sin 120° = \frac{ 1 }{ 2 } × 3\sqrt{ 7 }\rm AK.\] \[\rm AK = \frac{ 3\sqrt{ 3 } }{ \sqrt{ 7 } }.\]
 これより,AKの勾配は,
\[\frac{ \rm AH }{ \rm HK } = \frac{ \rm AH }{ \sqrt{ \rm AK^2 - \rm AH^2 } } = \frac{ \sqrt{ 35 } }{ 5 }.\]


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