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マナチャレ

マナビスinfo 2020秋・冬号 数学
解答解説

河合塾数学科講師
刈谷 今比古(かりや いまひこ)

基礎からトップレベルまで、幅広い講座を担当し、非常にわかりやすく、数学の力が付くと大変人気の講師。東工大オープンの執筆、教材作成にも携わっている。マナビスでは、総合講座「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ・B(レベル3)」「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ・B(レベル5)理系」「共通テスト対策数学Ⅰ・A〈数学A〉」を担当。

【解答】

 与えられた等式より, \[3x+4y=(xy-5)z⋯①\] であり,左辺が正より,\(xy-5>0\)である.
 よって,\(z≧1\)の両辺に\(xy-5\)をかけて, \[(xy-5)z≧xy-5.\]
 これと①から, \[3x+4y≧xy-5.\] \[xy-3x-4y-5≦0.\] \[(x-4)(y-3)≦17.\]
 \(x\)が最大のときを考えるので, \[(Ⅰ)x-4>0,y-3>0~のとき\] \[(Ⅱ)x-4>0,y-3≦0~のとき\] \((Ⅰ)x-4>0,y-3>0\) のとき  \((Ⅱ)x-4>0,y-3≦0\) のとき を考えれば十分.
\((Ⅰ)\)のとき \[(x-4,y-3)=(17,1) すなわち (x,y)=(21,4)\] \((x-4,y-3)=(17,1)\) すなわち \((x,y)=(21,4)\)  のときに \(x\)は最大で,このとき, \[(x,y,z )=(21,4,1).\]
\((Ⅱ)\)のとき,\(1≦y≦3\)である.
 (ⅰ) \(y=1\)のとき
  与えられた等式から, \[3x+4+5z=xz.\] \[(x-5)(z-3)=19.\]   よって, \[(x-5,z-3)=(19,1) すなわち (x,z)=(24,4)\] \((x-5,z-3)=(19,1)\) すなわち \((x,z)=(24,4)\)  のときに \(x\)は最大で,このとき, \[(x,y,z)=(24,1,4).\]
 (ⅱ)\(y=2\)のとき
  与えられた等式から, \[3x+8+5z=2xz.\] \[(2x-5)\left(z-\frac{ 3 }{ 2 }\right)=\frac{ 31 }{ 2 }.\] \[(2x-5)(2z-3)=31.\]   よって, \[(2x-5,2z-3)=(31,1) すなわち (x,z)=(18,2)\] \((2x-5,2z-3)=(31,1)\) すなわち \((x,z)=(18,2)\)  のときに \(x\)は最大だが,これは(ⅰ)のときの \(x\)より小さいので不適である.
 (ⅲ)\(y=3\)のとき
  与えられた等式から, \[3x+12+5z=3xz.\] \[(3x-5)(z-1)=17.\]   よって, \[(3x-5,z-1)=(17,1) すなわち (x,z)=\left(\frac{ 22 }{ 3 },2\right)\] \((3x-5,z-1)=(17,1)\) すなわち \((x,z)= \left(\frac{22}{3},2\right)\)  のときに \(x\)は最大だが,これは(ⅰ)のときの \(x\)より小さいので不適である.
 以上より,求めるものは,
\[(x,y,z)=(24,1,4).\]


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