マナビスinfo夏号版 数学



今回の出題分野は,「整数」(数学A)です. この分野を攻略するためのポイントは,基本となる「用語」をよく知り,それを念頭に置いて問題で扱われる現象を観察することです.「除法」,「余り」,「倍数・約数」,「最大公約数」,「互除法」,「素因数」,「互いに素」,・・・.こうした基本用語の中に,本問を解く鍵があるハズ.見落とさないようにしましょう.
ここで,本問に少しだけ関与する予備知識を1つ.「$5^0$」とは,「1」であると定義されています.(詳しくは数学Ⅱ「指数・対数」で学びます.)
自然数 $n$ に対し,3 で割ると2余る自然数で $n$ 以下であるもの全ての積を $P(n)$ とし,$\dfrac{P(n)}{5^m}$ が整数となる最大の整数 $m$ を $D(n)$ で表す.たとえば
\begin{align*}
&P(3)=2,\ D(3)=0,\\
&P(5)=2\cdot 5,\ D(5)=1,\\
&P(10)=2\cdot 5\cdot 8,\ D(10)=1,
\end{align*}
である.
- 3 で割ると2余る自然数のうち 5 の倍数であるものは \begin{align*} \boxed{ア}+\boxed{イウ}\,l\ (l=0,1,2,\cdots) \end{align*} と表せる.
- $D(100)=\boxed{エ}$ である.
- $D(n)\geqq100$ となる最小の自然数 $n$ は $\boxed{オカキク}$ である.
<解答方法>ア,イ,ウ,・・・の一つ一つには,0から9までの数字のいずれかが入ります.