第2弾
今回は「整数」(数学A)から出題します．この分野には，古来次のような誤解がはびこっています．
不思議ですね．どうして「整数」という単元にだけ「問題」という言葉を添えるのでしょう？いかにも「問題の解き方を覚えることが勉強だ」という響き満載です．とんでもない！「整数」だって数学の一分野ですから，「基本体系」を普通に，しっかり学べば，ちゃんと問題は解けるんです．
「余り」，「倍数・約数」，「最大公約数」，「互除法」，「素因数」，「互いに素」，・・・．本問を解きながら道に迷ったら，これらの基本用語の中で鍵を握っていそうなものについて，その定義・意味・基本用法などを教科書で調べてみてください．きっと道が開けるはずです．このような「基本体系」が反復練習を通して身に付き，無意識に沈んだ後ふっと湧き上がってくることを，世間では“ヒラメキ”というよくわからない言葉で呼んでいるんです．
一つヒントを．「整式」も同じ「整」の字を含んでいることからわかるように，「整数」と似た面を持っています．とりわけ「余り」というものを考えた「除法」の仕組みはそっくりですね．
- $x$ の整式 $x^2+7x+49$ を $x-7$ で割った商は $x+\boxed{アイ}$，余りは $\boxed{ウエオ}$ である．
- $a^3-343=p^b$ を満たす自然数の組 $(a,b,p)\ (a は 8 以上で p は素数)$ は全部で$\boxed{カ}$個ある．また，それらの組について $a,b,p$ それぞれの総和を求めると$\boxed{キク},\boxed{ケ},\boxed{コサ}$となる．
＜注＞ たとえば条件を満たす組が $(a,b,p)=(4,1,7),(5,2,11),(6,3,13)$ の3組であったなら， $$\eqalign{ \boxed{3}^{カ},\boxed{15}^{キク},\boxed{6}^{ケ},\boxed{31}^{コサ} }$$ と答えなさい．
＜解答方法＞ア，イ，ウ，・・・の一つ一つには，0から9までの数字のいずれかが入ります．たとえば空欄 $\boxed{アイ}$ に対して「 $45$ 」と答える際には，アに 4，イに 5 を入力します．
