$\mathbf{【解答】}$ 2つの自然数 $x,y$ の最大公約数を「$G(x,y)$」と表す．

(1) $$\eqalign{ x^2+7x+49=(x-7)(x+14)+147.\cdots① }$$ よって求めるものは $$\eqalign{ 商：x+\boxed{14}^{アイ}，余り：\ \boxed{147}^{ウエオ}. }$$

(2) 与式を変形すると $$\eqalign{ &a^3-7^3=p^b,つまり\\ &(a-7)\underbrace{(a^2+7a+49)}_{Aとおく}=p^b.\cdots② }$$ $p$ は素数だから， $a-7,A$ は $p$ 以外の素因数をもち得ない．よって \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a-7=p^k,\\ A=p^{b-k} \end{array} \cdots③ \right. \end{eqnarray} \begin{eqnarray} &(k は0以上の整数でk< b-k) \end{eqnarray} と表せる． ($\because\ a>0$ より $a-7< A$．)
以下，③における $k$ の値によって場合分けする．

i) $k=0$ のとき，③は $$\eqalign{ \left\{ \begin{array}{l} a-7=1,\\ A=p^b. \end{array} \right. }$$ $$\eqalign{ つまり \left\{ \begin{array}{l} a=8,\\ p^b=169(=13^2). \end{array} \right. }$$ 第2式を満たす自然数 $b$ と素数 $p$ の組は， $$\eqalign{ (b,p)=(2,13) }$$ のみである．

ii) $k\geqq1$ のとき，③において $b-k>1$ だから $$\eqalign{ p は A と a-7 の共通な素因数である．\cdots④ }$$ 一方，①において $x=a$ とすると $$\eqalign{ &A=(a-7)(a+14)+147.\cdots⑤ }$$ これと互除法の原理より $$\eqalign{ G(A,a-7)=&G(a-7,147). }$$ $147=3\cdot 7^2$ だから $$\eqalign{ G(A,a-7)は，3\cdot 7^2の約数.\cdots⑥ }$$ ④，⑥より $$\eqalign{ p=3 または 7. }$$

$p=3$ のとき，③において 仮に $k\geqq2$ だとしたら，$b-k>2$ より $3^2$ が $a-7$ と $A$ の公約数となり⑥に反す．よって $k=1$ に限られ， $$\eqalign{ \left\{ \begin{array}{l} a-7=3,\\ A=3^{b-1}. \end{array} \right.i.e. \left\{ \begin{array}{l} a=10,\\ 3^{b-1}=219. \end{array} \right.\cdots⑦ }$$ 219は3の整数乗ではないから，これを満たす自然数 $b$ は存在しない．

次に$p=7$ のとき，③において 仮に $k\geqq3$ だとしたら，$b-k>3$ より $7^3$ が $a-7$ と $A$ の公約数となり⑥に反す．よって $k=1 または 2$ に限られ， $$\eqalign{ &ア) \left\{ \begin{array}{l} a-7=7,\\ A=7^{b-1} \end{array} \right. \ or イ) \left\{ \begin{array}{l} a-7=7^2,\\ A=7^{b-2}. \end{array} \right. }$$
ア)のとき， $a=14$ であり $$\eqalign{ A=&14^2+7\cdot 14+7^2\\ =&7^2(4+2+1)=7^3\ より\\ 7^{b-1}=&7^3.\ \therefore b=4. }$$
イ)のとき， $a=56$ であり $$\eqalign{ A=&(7\cdot 8)^2+7\cdot 7\cdot 8+7^2\\ =&7^2(64+8+1)=7^2\cdot 73\ より\\ &7^{b-2}=7^2\cdot 73.\\ これを&満たす自然数 b はない． }$$

以上より，条件を満たす組は $$\eqalign{ (a,b,p)=&(8,2,13),(14,4,7). }$$ の$\boxed{2}^{カ}$組であり，求める $a,b,p$ それぞれの和は $$\eqalign{ \boxed{22}^{キク},\boxed{6}^{ケ},\boxed{20}^{コサ}. }$$

$\mathbf{【解説】}$

まず最初に，本問におけるキーワードである「素数」をめぐる基本事項を簡単に説明しておきます．
$[1]$ 整数の除法
任意の整数 $x,y\ (ただし y>0)$ に対し $$\eqalign{ x=yq+r\ (0\leqq r< y)\cdots (\ast) }$$ をみたす整数 $q$，$r$ がただ1組存在する．このような $q$，$r$ を，それぞれ$x$ を $y$ で割ったときの商，余りという

$[2]$ 約数・倍数
$(\ast)$においてとくに $r=0$ ，つまり $$\eqalign{ x=yq }$$ と表せるとき，$x$ は $y$ で割り切れる($y$ は $x$ を割り切る)という．また，このとき $$\eqalign{ &xはyの倍数である\ (yはxの約数である) }$$ という．

$[3]$ 公約数
2つ（以上）の整数 $x,y（，\cdots$）に共通な約数を，それぞれ $x,y (,\cdots)$の公約数という．公約数の中で最大のものを最大公約数 ${(G.C.D. : greatest\ common\ divisor)}$ といい， $$\eqalign{ 記号\ (x,y,\cdots) }$$ で表すことがある．(本問【解答】では，「組$(a,b,p)$」などとの混同を避けるために「$G(x,y)$」と表した．)
一般に，「公約数は最大公約数の約数」である．

$[4]$ 素数
ちょうど2つの正の約数をもつ正整数，すなわち，1と自分自身以外に約数をもたない 正整数(ただし1を除く)を素数という．また，素数である約数のことを素因数という．
素因数に注目することで，全ての自然数(正の整数)は，次の3種類に分類される． $$\eqalign{ \left\{ \begin{array}{l} 1\hskip10mm(素因数をもたない)\\ 素数\\ 合成数(2個以上の素数の積で表される) \end{array} \right. }$$ $\mathbf{{定理：「素因数分解の一意性」}}$
1を除く任意の正整数 $n$ は，異なる素数 $p$，$q$，$r$，$\cdots$ と正整数 $\alpha,\beta,\gamma, \cdots $ を用いて $$\eqalign{ n=p^\alpha q^\beta r^\gamma\cdots }$$ の形に（現れる素数の順序を除いて）ただ1通りに表される．この式の右辺を $n$ の素因数分解という．

$[5]$ 互いに素
2つ（以上）の整数 $x，y（，\cdots)$に共通素因数がないとき，これらの整数は互いに素であるという．次の3つは，すべて同じことを言い表している． $$\eqalign{ \left\{ \begin{array}{l} 「互いに素」\\ 「共通素因数をもたない」\\ 「最大公約数が 1」 \end{array} \right. }$$

本問の(2)では，与式の左辺が因数分解でき，②： $$\eqalign{ (a-7)\underbrace{(a^2+7a+49)}_{Aとおく}=p^b. }$$ を得ます．すると，次の2つの考えが浮かぶでしょう．

1. 2つの因数 $a-7,a^2+7a+49$ は，どちらも(1)で登場した式の $x$ に整数 $a$ を代入したもの．どうやら，(1)の結果が利用できそう．
2. 2つの因数 $a-7,A$ に対し，右辺にある $b$ 個の素因数 $p$ がそれぞれに何個ずつ“配分”されるのだろうか？

【解答】では，これらのうち扱い方がわかりやすそうな 2° の方から先に攻めていきました．「整数」について考える際には，このように「素因数」に注目するのが有効であることが多々あります．そもそも②のように因数分解できたのも，「$343$」を「$7^3$」と素因数分解し， 与式の左辺を“$(3乗)-(3乗)$”の形にしたおかげですね．

③を見ると，前記 のような基本が身についている人なら，ごく自然に

「おっ．$p$ は $a-7$ と $A$ の$\underbrace{公約数}_{共通素因数}$ っぽいぞ！」 と気付けるはずです．
ただし，$k=0$，つまり $a-7$ が素因数 $p$ を1つも持たないときは例外ですのでご注意を．その場合を処理したのが【解答】(2)の「場合i)」です．

さて，それでは「場合ii)」について考えます．$a-7$と$A$の公約数である素数 $p$ の値はいったい何でしょう？それを知るために，そもそも$a-7$と$A$の公約数は何であるかを知りたくなりますが・・・ちょっと難しいですね．そこで(1)が使えないかと考えてみます．
恒等式①の $x$ に整数 $a$ を代入して得られた⑤には，注目している2整数$a-7,A$が含まれます．しかも，もともと文字 $x$ の「整 式 ( ・ ) 」について除法を実行して得られた①を利用してできた等式ですから，当然，「整 数 ( ・ ) 」の除法を行ったときと同じ形をしています．ここまで言えばお分かりですね・・・

次の定理が本問の1つの重要ポイントでした．
【互除法の原理】

『[1]の$(\ast)$が成り立つとき， $$\eqalign{ G(x,y)=G(y,r).\quad ←{最大公約数が一致}\ 』 }$$ ($\mathbf{[証明]}$については後述)
等式⑤に「互除法の原理」を適用することにより， $a-7$ と $A$ の最大公約数は $147(3\cdot 7^2)$ という具体的な自然数の約数のどれかであることがわかりました．これは大きな進展ですね！
(なお，等式②を見て，すぐに1°の活用法＝「互除法の原理」に気付けた人は，そちらから先に手をつけ，「$a-7$ と $A$ の最大公約数は何か」に注目して場合分けしていっても解決します．)

「場合ii)」においては，素数 $p$ は$a-7$と$A$の公約数であり，前記 [3]中で述べたように，「公約数は最大公約数の約数」ですから， $p$ は $3$ または $7$ のいずれかであることがわかりますね．あとは，$a-7$と$A$の最大公約数が $147$ の約数であることと， $147$ の素因数分解：$3\cdot 7^2$ における各素因数の次数が $$\eqalign{ \left\{ \begin{array}{l} 素因数3\cdots1次\\ 素因数7\cdots2次 \end{array} \right. }$$ であることに留意すれば，【解答】の⑦，ア)，イ)の3つのケースに限られることがわかります．

$\mathbf{[「互除法の原理」の証明]}$

$$\eqalign{ x=yq+r\ (0\leqq r< y).\cdots(\ast) }$$ $\circ$ ある整数 $d$ が $y,r$ の公約数ならば，$(\ast)$より，$d$ は $x$ の約数でもあるから $x,y$ の公約数である．

$\circ$ ある整数 $d$ が $x,y$ の公約数ならば，$(\ast)$を変形して得られる$r=x-yq$ より，$d$ は $r$ の約数でもあるから $y,r$ の公約数である．

以上より，$x,y$ の公約数全体の集合と $y,r$ の公約数全体の集合が一致するから，それぞれの最大公約数どうしも等しい． (証明終り)
ここで注意してほしいのは，前記証明において，$(\ast)$の中で使っているのは等式 $x=yq+r$ のみであり，不等式 $0\leqq r< y$ は一切用いていないという事実です．つまり【互除法の原理】は，「$x=yq+r$」という形の等式さえあれば使えるという訳です．
本問(2)の等式： $A=(a-7)(a+14)+147$ において，$147< a-7$ とは限りませんので，「$147$ は，整数 $A$ を整数 $a-7$ で割った余りである」とは言えません．でも，互除法の原理は使えて $$\eqalign{ G(A,a-7)=G(a-7,147) }$$ はちゃんと成り立つのです．

前記証明を見てもわかる通り，「互除法の原理」とは実はごく単純なものですので，「互除法の原理」を使っているという意識を持たないまま，$A,a-7$ の共通素因数が $3,7$ に限られることに気付いて解けてしまった人もいることでしょう．
「場合ii)」では，等式 $$\eqalign{ &A=(a-7)(a+14)+147, つまり\\ &3\cdot 7^2=A-(a-7)(a+14) }$$ において， $A,a-7$ がいずれも $p$ の倍数ですから， $3\cdot 7^2$ も $p$ の倍数，つまり素数 $p$ は $3\cdot 7^2$ の約数なので $3$ または $7$ であることがとわかりますね．
とはいえ，「互除法の原理」は大変有力な手段です．「あ．互除法の原理が使える形だ！」ということがズバッと見抜けるようにしておきたいものです．

まとめです．本問がなぜ“解ける”のか・・・
どうして $343$ を $7^3$ と変形できるのですか？
「素因数分解」が習慣づいているからです．
どうして③式のようになることが見抜けるのですか？
普段から「素因数」に注目しているからです．
どうして(1)が $G(A,a-7)$ を求めるのに役立つと気付けるのですか？
「互除法の原理」をマスターしているからです．
どうして整数の問題が解けるのですか．？
「整数」の基本体系が備わっているからです．
それが全てです．

$\mathbf{{注}}$ 本問(2)では，組 $(a,b,p)$ が何通りあるかを知られると“まぐれ当り”の可能性が増してしまうので，「 $a,b,p$ それぞれの和を問う」というやや不自然な問い方をしました．スイマセン！！