トップレベル問題に挑戦 合格る一題(うかる一題)

第4弾! 数学

河合塾数学科講師 広瀬 和之(ひろせ かずゆき)
トップ層を中心に授業を担当.「基本」を重視し,「言葉」を正しく用いた指導には定評がある.全統医進模試の作成チーフを務め,著書は『合格(うか)る計算』など多数.マナビスでは「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ・B(レベル5・6)文系」 などを担当している.

今回は「三角関数」(数学Ⅱ)です.この単元には,中核となる次の2本柱があります.

  • ①単位円による定義
  • ②加法定理などの公式を用いた変形

① は,内容が奥深いです.本当によく理解して,三角関数の値が正しく把握できるようにしましょう.
② は・・・とにかく公式の個数が多く,それらを闇雲に使って変形するとドツボにハマったりします.目的に応じて,適切な公式を使用することが大切です.もちろん,方針がハッキリと見えないときには,“とりあえず”(下書き用紙で)いろいろ試してみるということもありますが.
(なお,「高校2年生冬時点」を想定して出題していますので,微分法(数学Ⅲ)は出題者側の念頭にはありません.)


問題

  $\alpha$ は $0\leqq\alpha\leqq\pi$ を満たす実数とし,$\theta$ の関数 \begin{align*} f(\theta)=&\sin\theta+2\sin(\theta+\alpha)+3\sin(\theta+2\alpha) (\ \theta\ は任意の実数\ ) \end{align*} の最大値を $M$ とする.
  $\alpha$ を $0\leqq\alpha\leqq\pi$ の範囲で動かすとき,$M$ が最小となる $\alpha$ を $\alpha_1$ とすると \begin{align*} \cos\alpha_1=\frac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウ}}\ ,\ \sin\alpha_1=\frac{\sqrt{\boxed{エ}}}{\boxed{オ}} \end{align*} である.また,$M$ の最小値は $\frac{\boxed{カ}\sqrt{\boxed{キ}}}{\boxed{ク}}$ である.
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