トップレベル問題に挑戦 合格る一題(うかる一題)

マナビスinfo春号版 数学

※ 冬号版 問題・解答はこちら

河合塾数学科講師 広瀬 和之(ひろせ かずゆき)
トップ層を中心に授業を担当.「基本」を重視し,「言葉」を正しく用いた指導には定評がある.全統医進模試の作成チーフを務め,著書は『合格(うか)る計算』など多数.マナビスでは「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ・B(レベル5・6)文系」 などを担当している.
 今回は「数列」です.この分野では,「出来る人」と「出来ない人」の間に,決定的な違いがあります..たとえば
 $$\eqalign{ a_{1}=&\dfrac11,\\ a_{2}=&\dfrac12,\\ a_{3}=&\dfrac13,\\ \vdots }$$
\begin{align*} 「a_n=\dfrac1n」 \end{align*} という「1つの式」があるとき・・・
  • 出来ない人→ホントに“1つの”だと認識している.
  • 出来る人 →番号を付けて“並べ”, 右のように無限個の式だと認識している.
 要するに,「数列」という,「数」の「並び」を把握しているか,いないか.そこがポイントです.

問題

  数列 $\{a_n\} (n=1,2,3,\cdots)$ が次の①,②,③を満たしている.
\begin{align*} &a_1=4,\ \cdots①\\ &\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}2^{2n-k}a_k=3^{n+1}\ (n=1,2,3,\cdots),\ \cdots②\\ &奇数番目の項から始まる 3 項は等差数列をなす.\cdots③\\ &(つまり,(a_1,a_2,a_3) は等差数列,(a_3,a_4,a_5) は等差数列,\\ &(a_5,a_6,a_7) は等差数列, ・・・ である.) \end{align*}

  1. $a_2=\boxed{ア}$,$a_3=\boxed{イウ}$ である.
  2. $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{2k-1}=\dfrac{\boxed{エオ}}{\boxed{カ }}-\dfrac{\boxed{キ}}{\boxed{ク}}\cdot{\boxed{ケ}}^n+\dfrac{\boxed{コ}}{\boxed{サシス}}\cdot(\boxed{セソ})^n$ である.



<解答方法>,・・・の一つ一つには,0から9までの数字,もしくは符号「-」のいずれかが入ります.また,分数を答えるときは,それ以上約分できないようにすること.例えば,「$\displaystyle \frac{\small 2}{\small 3}$」が答えであるときに,「$\displaystyle \frac{\small 4}{\small 6}$」と答えてはいけません.

対象学年 高1・2・3生/正解者の中から抽選で100名の方に図書カード2,000円分をプレゼント!/当選結果の発表はプレゼントの発送をもって 答えの入力はこちら

解答は3月上旬予定!

過去の問題にも挑戦!
back number

第1題 問題 解答
第2題 問題 解答
第3題 問題 解答
第4題 問題 解答
第5題 問題 解答
夏号 問題 解答
秋号 問題 解答
冬号 問題 回答