トップレベル問題に挑戦 合格る一題(うかる一題)

マナビスinfo夏号版 数学
解答期間 6月5日(月)~ 7月31日(月)

※ 第5弾問題はこちら

河合塾数学科講師 広瀬 和之(ひろせ かずゆき)
トップ層を中心に授業を担当.「基本」を重視し,「言葉」を正しく用いた指導には定評がある.全統医進模試の作成チーフを務め,著書は『合格(うか)る計算』など多数.マナビスでは「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ・B(レベル5・6)文系」 などを担当している.

今回の出題分野は,「整数」(数学A)です. この分野を攻略するためのポイントは,基本となる「用語」をよく知り,それを念頭に置いて問題で扱われる現象を観察することです.「除法」,「余り」,「倍数・約数」,「最大公約数」,「互除法」,「素因数」,「互いに素」,・・・.こうした基本用語の中に,本問を解く鍵があるハズ.見落とさないようにしましょう.

ここで,本問に少しだけ関与する予備知識を1つ.「$5^0$」とは,「1」であると定義されています.(詳しくは数学Ⅱ「指数・対数」で学びます.)


問題

自然数 $n$ に対し,3 で割ると2余る自然数で $n$ 以下であるもの全ての積を $P(n)$ とし,$\dfrac{P(n)}{5^m}$ が整数となる最大の整数 $m$ を $D(n)$ で表す.たとえば \begin{align*} &P(3)=2,\ D(3)=0,\\ &P(5)=2\cdot 5,\ D(5)=1,\\ &P(10)=2\cdot 5\cdot 8,\ D(10)=1, \end{align*} である.

  1. 3 で割ると2余る自然数のうち 5 の倍数であるものは \begin{align*} \boxed{ア}+\boxed{イウ}\,l\ (l=0,1,2,\cdots) \end{align*} と表せる.
  2. $D(100)=\boxed{エ}$ である.
  3. $D(n)\geqq100$ となる最小の自然数 $n$ は $\boxed{オカキク}$ である.


<解答方法>,・・・の一つ一つには,0から9までの数字のいずれかが入ります.

対象学年 高1・2・3生/正解者の中から抽選で100名の方に図書カード2,000円分をプレゼント!/当選結果の発表はプレゼントの発送をもって 答えの入力はこちら

解答は8月上旬予定!

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