マナビスinfo春号版 数学
今回は「数列」です．この分野では，「出来る人」と「出来ない人」の間に，決定的な違いがあります．．たとえば
$$\eqalign{
a_{1}=&\dfrac11,\\
a_{2}=&\dfrac12,\\
a_{3}=&\dfrac13,\\
\vdots
}$$
\begin{align*}
「a_n=\dfrac1n」
\end{align*}
という「1つの式」があるとき・・・
- 出来ない人→ホントに“1つの式”だと認識している．
- 出来る人 →番号を付けて“数を並べ”， 右のように無限個の式だと認識している．
数列 $\{a_n\} (n=1,2,3,\cdots)$ が次の①，②，③を満たしている．
\begin{align*}
&a_1=4,\ \cdots①\\
&\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}2^{2n-k}a_k=3^{n+1}\ (n=1,2,3,\cdots),\ \cdots②\\
&奇数番目の項から始まる 3 項は等差数列をなす．\cdots③\\
&(つまり，(a_1,a_2,a_3) は等差数列，(a_3,a_4,a_5) は等差数列，\\
&(a_5,a_6,a_7) は等差数列，・・・ である．)
\end{align*}
- $a_2=\boxed{ア}$，$a_3=\boxed{イウ}$ である．
- $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{2k-1}=\dfrac{\boxed{エオ}}{\boxed{カ }}-\dfrac{\boxed{キ}}{\boxed{ク}}\cdot{\boxed{ケ}}^n+\dfrac{\boxed{コ}}{\boxed{サシス}}\cdot(\boxed{セソ})^n$ である．
＜解答方法＞ア，イ，ウ，・・・の一つ一つには，0 から 9 までの数字，もしくは符号「$-$ 」のいずれかが入ります．また，分数を答えるときは，それ以上約分できないようにすること．例えば， 「$\dfrac23$」が答えであるときに，「$\dfrac46$ 」と答えてはいけません．
