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マナチャレ

マナビスinfo 2019冬号 数学

河合塾数学科講師
刈谷 今比古(かりや いまひこ)

基礎からトップレベルまで、幅広い講座を担当し、非常にわかりやすく、数学の力が付くと大変人気の講師。東工大オープンの執筆、教材作成にも携わっている。マナビスでは、総合講座「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ・B(レベル3)」「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ・B(レベル5)理系」を担当。

 今回は,「図形と計量」(数学I)からの出題です.立体図形の問題に苦手意識を持っている人は少なくないですが,皆さんだって“立体”であることをお忘れなく(笑)!
 まずは,わかりやすい図を描いてみることです.その図を得られるかが勝負の分かれ目であると言っても過言ではありません.まともな図を描けるまで,試行錯誤してください.
 その後,必要であれば〈ヒント〉を活用しましょう.
 この問題を機に,立体への苦手意識を払拭してみませんか?

【問題】

AB = 3,AC = 5,∠ BAC = 120°である △ ABC をある斜面αにおいたところ,
AからB, AからC がいずれも下り坂で,勾配はそれぞれ\(\frac{ 1 }{ \sqrt{ 3 } }\),\(\frac{ 1 }{ \sqrt{ 15 } }\)であった.
このとき,直線BCの勾配は\( \frac{ 1 }{ \scriptsize \boxed{ア}\sqrt{ \boxed{イウ} } }\)である.また,α上にある直線の勾配の最大値は\(\scriptsize \frac{ \sqrt{ \boxed{エオ} } }{ \boxed{カ} }\)である.

〈解答方法〉 ア,イ,ウ,… の一つ一つには,0から9までの数字が入ります.たとえば空欄 \(\scriptsize \frac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウエ}}\) に対して「\(\frac{ 1 }{ 2 }\)」と答える際には,アに0,イに1,ウに0,エに2を入力します.なお,分数はそれ以上約分できない形にしましょう.たとえば \(\frac{ 12 }{ 23 }\) と答えるところを \(\frac{ 24 }{ 46 }\) と答えてはなりません.

〈ヒント〉 Bを通る水平面βにAから垂線AHを下ろします.直線ABの勾配が\(\frac{ 1 }{ \sqrt{ 3 } }\)ですから,\(\frac{ \rm AH }{ \rm BH } = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 3 } }\)です.次に,Cから直線AHに垂線を下ろすと….α上にある直線の勾配の最大値を求める際は,α, βの交線に着目するとよいでしょう.直線ACとβの交点はどこにありますか?

解答の〆切は2月29日(土)までとなります。
解答・解説は、3月上旬にマナチャレのサイト内にて公開いたします。



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