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マナチャレ

マナビスinfo 2019夏号 数学

河合塾数学科講師
刈谷 今比古(かりや いまひこ)

基礎からトップレベルまで、幅広い講座を担当し、非常にわかりやすく、数学の力が付くと大変人気の講師。東工大オープンの執筆、教材作成にも携わっている。マナビスでは、総合講座「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ・B(レベル3)」「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ・B(レベル5)理系」を担当。

今回は,「2次関数」(数学Ⅰ)からの出題です.“2次関数の最大・最小”を学習した生徒であれば十分に手の届く内容ですから,高3生でなくても気後れせずに挑戦しましょう.今回も〈ヒント〉を用意しました.大サービスです!

【問題】

実数 \(x\),\(y\),\(z\) が \(x\) ≧ \(0\),\(y\) ≧ \(0\),\(z\) ≧ \(0\),\(x\) + \(y\) + \(z\) ≦ \(4\) を満たしながら変化するとき, \[x^2 − 2xy + yz − 3x + 4y + 2z + 3\] の最小値は,$\scriptsize\frac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウエ}}$ である.

〈解答方法〉 ア,イ,ウ,エの1つ1つには,0 から 9 までの数字または「-」(マイナス)が入ります.

たとえば空欄 $\scriptsize\frac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウエ}}$ に対して「-\(\frac{ 1 }{ 2 }\)」と答える際には,アに「-」,イに1,ウに0,エに2を入力します. なお,分数はそれ以上約分できない形にしましょう.たとえば \(\frac{ 12 }{ 23 }\) と答えるところを \(\frac{ 24 }{ 46 }\) と答えてはなりません.

〈ヒント〉 変数が3つもあって難しく見えますが,「2つの変数を固定し,変数が1つの関数とみなす」という原則に従うと,見通しがよくなります.たとえば \(x\) の関数と見るときは, \[x^2 − (2y+3)x + yz + 4y + 2z + 3\] と変形します.\(y\) の関数,\(z\) の関数と見る場合もそれぞれ書き,どれが一番やりやすいか吟味しましょう.

解答の〆切は8月31日(土)までとなります。
解答・解説は、9月上旬にマナチャレのサイト内にて公開いたします。



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