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マナチャレ

マナビスinfo 2018冬号 数学
解答解説

河合塾数学科講師
刈谷 今比古(かりや いまひこ)

基礎からトップレベルまで、幅広い講座を担当し、非常にわかりやすく、数学の力が付くと大変人気の講師。東工大オープンの執筆、教材作成にも携わっている。マナビスでは、総合講座「総合数学Ⅰ・A・Ⅱ ・B(レベル3)」を担当。

【解答】

(1) Cが3位になるのは,次の2つの場合である.

(Ⅰ) A,Bが 1回戦で当たり,その勝者とCが準決勝で当たるとき.

A,Bが■に入る確率より, \[\frac{{}_2 \mathrm{ C }_2}{{}_7 \mathrm{ C }_2}=\frac{ 1 }{ 21 }.\]

(Ⅱ) A,Bが決勝戦で当たり, Cがその一方と準決勝で当たるとき.

A,Bが■と▲に1つずつ入る確率より, \[\frac{{}_2 \mathrm{ C }_1 × {}_4 \mathrm{ C }_1 }{{}_7 \mathrm{ C }_2}=\frac{ 8 }{ 21 }.\]

よって,Cが3位になる確率は, \[\frac{ 1 }{ 21 } + \frac{ 8 }{ 21 } = \frac{ 3 }{ 7 }.\]

(2) Cが3位になり,さらにDが2位になるのは,A,Bが1回戦で当たり,その勝者とCが準決勝で当たり,その勝者とDが決勝で当たるときより,A,Bが■に入り,Dが▲に入る確率であるから,
\[\frac{{}_2 \mathrm{ C }_2}{{}_7 \mathrm{ C }_2} × \frac{{}_4 \mathrm{ C }_1}{{}_5 \mathrm{ C }_1} =\frac{ 4 }{ 105 }.\]

よって,求める確率は, \[\frac{\frac{4}{105}}{\frac{3}{7}}=\frac{ 4 }{ 45 }.\]



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